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（1）不变突变率的理论研究成果
Michihiro Kandori, Greorge J. Mailath, Rafael Rob (KMR)1993首次运用Foster and Young（1990）的方法考察了离散条件下系统的随机稳定性并给出了相应的算法。他们的核心思想就是在模型中引入了确定性达尔文动态，在此基础上再引入了由正态分析描述的随机影响因素，从而使得确定性动态过程变成了随机动态过程。在此模型中，他们假定背景突变的存在及每个参与者都在任何时候都以相同的概率发生突变而选择突变策略，由此便保证了马尔可夫链的遍历性，因此，随机动态系统存在平稳分布，他们采取了Freidlin, M. I and Wentzell, A . D. (1984)提供的决策树法来求系统平稳分布即随机稳定状态。决策树法的基本逻辑如下：
一是引入一种状态到另一种状态的离开阻抗（也就是离开某状态所需要的突变数）；
二是找到每一个常返状态（Recurrent state）中吸引子（attractor）对应的最小阻抗的路径，由此研究吸引子的吸引域宽度，或者求出每个吸引子的随机潜力；
最后，有最宽吸引域或者最小随机潜力的吸引子就是随机稳定状态。在KMR一文中，由于假定在任何状态任何时间每个个体都以相同的非零突变率选择其他策略，因此，离开阻抗直接可以通过突变者的个体数来描述。阻抗决定吸引域的半径即宽度，吸引域的宽度决定系统回复到均衡的次数，进而确定随机稳定状态。正因为如此，KMR一文的所有定理的结论都是围绕着“吸引域最宽的吸引子就是随机稳定状态”这一结论而展开的。
Peyton Young（1993）应用与KMR相同的方法研究了离散条件下对称协调博弈的随机稳定性，他主要考察社会习俗的形成问题。他认为由于参与人有高昂的信息搜寻成本，每一个人都只能依据非常有限的博弈历史来进行决策，均衡选择并不是依据其本身所具有内在显著性，而是由系统演化的动态过程所决定的。动态过程也就是参与人对其他参与人行为的信念即预期形成的适应性学习过程。只要信息充分不完全性并且参与人永不犯错误，那么满足弱非循环博弈的适应性学习过程以概率1会收敛到纯策略严格纳什均衡；不完全性可以有效防止博弈锁定于次优循环，有限记忆则可以使参与人很快忘记过去协调失败的行为，这两个条件在一起实际上就是保证系统不会被粘住在一个均衡，也就是说随机因素的影响使系统在不同吸引域之间不断跳跃。Young（1993）在其模型引入了适应性动态过程，在此基础上来引入随机因素，然后，通过Freidlin, M. I and Wentzell, A . D.提供的决策树法来计算系统的随机稳定状态。与KMR相比，两者尽管在形式上不同，但都没有超越“吸引域大的均衡就是长期随机稳定均衡”这一基本框架。另外，Young（1993）在文中给出了计算随机稳定状态的步骤：
第一步求出在无扰动适应性动态下的常返状态。对一般的n人协调博弈，常返状态的求法是非常复杂的，但如果协调博弈是弱非循环且样本是充分不完全，那么常返状态就是对应于博弈中的严格纳什均衡；
第二步计算从一个常返状态到另一个常返状态的最小阻抗。理论上说这就相当于解决一系列的最短路径问题，但实际上可以直接通过博弈的支付矩阵来计算；
第三步依据以上的阻抗来构建“方向树”，并且寻找有最小阻抗的树，除完全相同阻抗的情形外，随机进化稳定状态一般都是唯一的。Young（1993）还是没有跳出不变突变率的框架，尽管在处理方法不同于KMR，但核心思想是一样的，
第一、文中的适应性动态依然是支付单调的；
第二、与KMR一样，文中假定突变率不变，因而突变率与吸引域的宽度无关，突变的作用与KMR完全一样，是为了使系统在不同状态之间跳跃，系统状态的吸引域半径完全是由博弈支付决定的；
第三、结论与KMR一样，只是说法不同，即吸引域宽者就是长期随机稳定状态。
从以上两文可以看出：引入动态过程是为了常返状态的存在性；引入突变是为了使系统在不同常返状态之间跳跃；引入不变突变率是为了简化计算。有了前述的保证就可以得到“随机稳定状态即是吸引域最宽的常返状态”这一结论。正是因为这样，Ellision（2000）直接假定以上三个条件直接从吸引域及其宽度出发来分析系统的随机稳定状态。
Ellision（2000）直接从转移矩阵出发来定义状态的吸引域，抓住了求随机稳定状态方法的核心思想，绕过了求不变分布，直接利用吸引域半径来求解协调博弈中的均衡选择问题。其结论为：如果离开常返状态的阻抗大于进入常返状态的阻抗，也就是说，当离开吸引域的阻抗大于进入吸引域的阻抗时，也就是离开的难度大于进入的难度，因此，系统的进化稳定状态就一定在此吸引子之中。当然，如果是对称协调博弈，那么常返状态就是由纯策略严格纳什均衡组成，随机稳定状态就是最小随机潜力的状态。在Ellison模型中一步一步的演化比休克式演化的速度更快，为了在模型中体现这一点，他把系统向均衡状态演化过程的成本减掉而定义了修进的共轭半径，共轭半径的修进无形地增加了向均衡靠拢的可能性也就是增加了吸引域的宽度。事实上，从分析可以看出，Ellison的结论依赖于参与人在任何时候任何状态都有不变的突变率。因此，博弈的随机稳定状态完成由博弈的支付确定的，并且有最大离开阻抗或者最小随机潜力的就是随机稳定状态。
（2）不变突变率理论研究的评述
以上三篇研究对称协调博弈随机稳定性文章在学术界被多次引用，足以说明这些文章已经得到了学者们的重视，其共同的特点就是假定突变率不随时间与状态的变化而变化，因而，把求随机稳定状态直接转化为求吸引子或者严格纳什均衡的吸引域宽度，最宽吸引域所对应的吸引子就是随机稳定状态。另外，不变突变率带来的一个非常重要的结果就是吸引域完成是由博弈支付确定的，因而，只要确定了基础博弈，系统的随机稳定状态就已经确定了。文中引入随机动态的主要作用就是使系统在不同吸引子之间反复跳跃而不被粘住，从而达到求随机稳定状态之目的。尽管形式不同，他们的结论却是一样的，即“在有风险占优与帕累托占优的协调博弈中”系统的长期随机稳定状态是有较宽吸引域的风险占优状态，具体地说：
a、动态过程与常返状态的存在性。KMR的达尔文动态是典型的支付单调动态，所谓支付单调动态就是指支付越多则选择人数就越多，即参与人的行动是基于博弈支付而作出的，支付单调动态确保对称协调博弈中常返状态就是严格纳什均衡集。 PY的适应性动态（实际上就是一种相对群体分布的最优反应动态），在满足弱非周期条件并且样本不完全及参与人永远不犯错误，那么适应性动态就以概率1收敛到严格纳什均衡；Ellison（2000）模型脱离了博弈的动态过程，他直接假定常返状态的存在性（默认动态过程是支付单调的或者博弈满足弱非周期性），并且认为在弱非周期条件下常返状态就是严格纳什均衡。
b、随机因素的引入与遍历性。KMR、PY与Ellison都是假定不变突变率，但他们没有说明突变率不变的原因。不变突变率的随机因素引入保证动态过程满足遍历性要求，从而系统不会被粘在某一处，即不会出现锁定（lock in）的情况，保证系统在不同均衡状态之间跳动。具体地说：为了保证不变分布的存在性，PY（1990）通过假定随机因素的累积作用而保证遍历性的存在；KMR则是假定状态转移矩阵各元素不为零而保证系统不会被粘住；PY（1993）与Ellison（2000）则是假定博弈满足非周期条件而使系统收敛到严格纳什均衡，同时假定样本不完全或者有限记忆（也就是参与人很快会忘记过去而不会被锁定）而保证系统不会被粘住。有了常返状态存在性与遍历性条件就可以保证系统存在一个平稳分布，于是求随机稳定状态问题就转化为求平稳分布。在此基础上直接应用Freidlin, M. I and Wentzell, A . D. (1984)的方法计算随机稳定状态。BL与JO两文没有直接求随机稳定状态，只是从数理逻辑上证明了随机因素可变时随机稳定状态也是可变的。
c、实验经济学、社会学及心理学的研究表明，参与人的突变率是随着随机动态系统状态与时间变化而变化的，也就是说随机动态系统的随机稳定状态不仅依赖于吸引域的宽度，而且也依赖于吸引域的深度，如何度量吸引域的深度是值得理论界探讨的。根据上面的模型，求解随机稳定状态实际就是解决两个问题：一是保证平稳分布的存在性；二是保证系统的常返状态的存在性。平稳分布可以通过背景突变率的存在性而假定满足遍历性。常返状态可假定基础博弈是对称协调博弈即得到满足。有了这两个假定，那么随机稳定状态就完全由常返状态的吸引域确定。因而，对吸引域的影响因素进行深入探讨是解决协调博弈的随机稳定性一条很好的途径。
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